HUN-TUN - Il Caos

“L'Imperatore del Mare del Sud si chiamava Shu [Breve], l'Imperatore del Mare del Nord si chiamava Hu [Repentino], l'Imperatore della regione centrale si chiamava Hun-tun [Caos]. Shu e Hu di volta in volta si riunivano per un incontro nel territorio di Hun-tun, e Hun-tun li trattava entrambi molto generosamente. Shu e Hu discutevano di come potrebbero ripagare la sua gentilezza. Dicevano: "Tutti gli uomini hanno sette aperture, così da poter vedere, sentire, mangiare e respirare. Ma il solo Hun-tun non ne ha alcuna. Cerchiamo di aprirgliene una!" Ogni giorno essi aprivano un altro buco, e il settimo giorno Hun-tun morì”.*

Hun-tun, che è il Caos, non deve essere confuso con il solito caos com’è visto nel mondo occidentale nel senso "caotico". Esso è l'ideale supremo del Taoismo. Il caos è totalità, unicità e Natura. Il Caos rappresenta, allo stato naturale del mondo. Scavare buchi sulla testa del Caos significa distruggere lo stato naturale del cosmo. Perciò, per i Cinesi antichi, ‘caos’ non solo ha il senso di disordine, ma presenta anche un rispettabile stato estetico. Questa idea di caos può essere molto diversa dalla sua controparte occidentale.

CAOS MAGICOO - Incarnato in tutto quanto è stato detto sopra, è ciò che è stato chiamato Caos Magicoo. "Caos Magicoo" è un termine moderno per qualcosa che è stato coltivato e utilizzato nello Sciamanesimo e altre categorie simili nelle culture di tutto il mondo per secoli, sotto altri termini e nomi, ed a volte anche senza alcun nome. Ciò che è il Caos Magicoo è quasi un riflesso speculare del grande Shaman Obeah, e come visto pure da molti esseri quasi sullo stesso piano. Il Caos Magicoo è terribile, potente, compulsivo e, in mani sbagliate, altamente pericoloso. Inoltre, come in Obeah, il suo segreto sta nel suo potere. Talvolta anche i White Light Shields (Scudi di Luce Bianca) di una persona possono collassare vulnerabilmente, essere resi impotenti, o agganciarsi ad un altro potere più forte quando opposto in una prova di forza.

Aderenti al Caos Magico qui indicati sono un’inter-connessione e inter-relazione sottostante di tutte le cose nell'universo. Ciò che sembra casuale o caotico ha un "ordine" più alto che può essere percepito da una ben più vasta prospettiva. Da questo sorge la forza vitale, la tendenza per la materia di poter acquisire intelligenza.

Filosoficamente, il Caos Magico ha una somiglianza con il Taoismo e lo Zen, con una forte dose di ciò che in sanscrito si chiama SIDDHI. Il successo dipende dall’auto-annientamento del ‘sé’ spogliato per il nudo non-sé (Anatta) o morte dell’Ego, quindi si vede che c'è molto in comune con il Madhyamaka di Nagarjuna e le scuole di Zen. E’ stato detto che gli effetti di un ‘Koan’ buddhista Zen sulla mente discorsiva è un piccolo assaggio di ciò che ricerca un esperto di Caos Magico. La pratica del Caos Magico può essere destabilizzante perché è progettato per distruggere le convinzioni. Un po’ come le droghe psichedeliche, esso può alterare drasticamente la vostra realtà.

Poiché ogni dualismo è un’illusione, il Caos Magico non discrimina tra la cosiddetta magia "bianca" o "nera", come dire visto attraverso gli occhi, per esempio, di un diablero, uno sciamano-stregone con una tendenza malvagia, come potrebbe essere Don Juan Matus, il tipo di insegnante sotto cui Carlos Castaneda fu apprendista. Essendo moralmente neutrale, il Caos Magico probabilmente non è per quelli che non hanno già elaborato un ben sviluppato codice di etica personale. Gli adepti del Caos Magico sono talvolta definiti come maghi di "magia nera", ma non come definita da coloro che il lato oscuro dell’esistenza lo vedono semplicemente come il "male". Come con la ‘Madre Kali’, la dea Nera dell’Induismo, che toglie via l’oscurità da qualunque individuo che si sforza nel cammino di perfezione  svolgendo le discipline spirituali, purificazioni e austerità. Così come tutti i colori dello spettro sono mixati nel nero, però il nero rimane ancora nero, così, la Dea Kali, che è completamente Scura e Inconoscibile, toglie tutte le Oscurazioni, mentre Lei stessa, rimane immutata. Se la sua magia è "nera", è perché tratta con ciò che è oscuro e nascosto.

Mentre osservavo i Londinesi che, camminando per strada, erano intenti alla loro vita, all'interno di ogni essere appariva una luminosità ‘oscura’. Ma, al tempo stesso, vi era una strana sensazione che essi fossero non più che sonnambuli ‘robot’ totalmente ignari della natura che splende dentro di essi. La forza vitale di ciascuna persona era in qualche modo intrappolata all'interno di un trasognato ed ottuso guscio che sembrava impedire qualsiasi contatto con il reale e ciò che poteva essere stato acceso con la coscienza era grigio e senza vita. (vedi: Yatri, ‘Unknown Man: The Mysterious Birth of a New Species’. New York: Simon and Schuster, 1988)

Il buddhismo insegna che dopo che un praticante ha raggiunto un certo grado di realizzazione, egli sviluppa un potere spirituale. Una persona a livello di Arhat si dice che sia in possesso di sei poteri soprannaturali. Anche così, resta inteso che è attraverso l’Illuminazione che i poteri soprannaturali si manifestano, piuttosto che siano i poteri soprannaturali a rafforzare l’Illuminazione. Inoltre, è anche riconosciuto che i poteri soprannaturali non sono esclusivamente raggiungibili soltanto e solamente dai buddhisti. E’ possibile per chiunque abbia una profonda coltivazione religiosa e spirituale sviluppare qualche sorta di poteri "super-normali". (Fonte)

Breve storia del concetto di Caos

Di Huajie Liu (Dipartimento di Filosofia, Università di Pechino, 100871, Beijing, PRChina)

1999-04-12 - (http://members.tripod.com/~huajie/Paper/chaos.htm)  

    Negli ultimi due decenni, con la pubblicazione di più di 7200 documenti e 260 libri, la scoperta del caos nella dinamica non lineare ha avuto un potente impatto su molte discipline, tra cui matematica, meccanica, informatica, biologia, ecologia, astronomia, ingegneria, economia, arte e, naturalmente, la filosofia. Solo l'onda d'urto della meccanica quantistica nella storia delle scienze può paragonarsi favorevolmente con esso, nel senso di avere un grande scompiglio nella società e nei media. Come la meccanica quantistica, la teoria del caos ha causato un sacco di confusione semantica quando divenne un argomento animato e popolare.

In questo articolo, desidero chiarire il significato di caos attraverso materiali provenienti da antiche culture alle scienze moderne e delinearne la natura ed il significato. Prima di tutto, occorre ricordare che il caos non è altro che una sorta di speciale movimento dinamico proveniente da equazioni deterministiche, che mostrano una estremamente sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali del sistema. Ci sono molte considerazioni circa il concetto di caos, ma questo è il suo significato centrale dal punto di vista dell’attuale scienza e della matematica.

Il lettore che non è interessato alla semantica del caos nei tempi antichi e alle scienze in generale, può saltare le prime cinque sezioni, e andare direttamente alle sezioni 6, 7 e 8, in cui si parla direttamente della definizione di caos nel suo significato filosofico.

 
1. Il Caos in alcuni Antichi Classici

Esiodo, nei paragrafi 116, 123, 700 della Teogonia, disse che il Caos è il Dio primordiale prima di Gaia, Tartaros ed Eros, e Publio Ovidio Nasone all'inizio delle Metamorphosis ripeté l'idea. La Sacra Bibbia menziona in molte occasioni i conflitti tra Dio e il Caos, ad esempio in Genesis 1:1-2; 26-30, Isaia 24:9-10,16-17; 34:9-11, 45:18-19, Geremia 4:23-26, 1:5-6 Micah 1:5-6, Zaccaria 14:3-5, Giobbe 10:20-22 e Giovanni 1:5-10. Gli autori della Bibbia descrivono il Caos come "un luogo di disordine", "senza nessuna regola", "lo stato senza-forma", "di totale disordine e confusione", "la condizione di vacuità, irrealtà, e desolazione", e "un’esistenza senza-significato".

La Bibbia ci dice indirettamente ‘chi’ ha creato il caos. Forse esso già esisteva prima della creazione e esisterebbe per sempre solo al fine di far esistere la volontà di Dio. Quindi ci sono due speculazioni: una è che Dio iniziò la sua creazione da una base primordiale, che era un indifferenziato miscuglio, vale a dire il caos; un’altra è che all'inizio vi era solo l'anima (o mente) di Dio, i cieli, e che la terra e il caos furono tutti generati da Dio.

Trovo che quasi tutte le culture nei tempi antichi costruirono le loro leggende circa la creazione del caos con strutture analoghe. Qui voglio raccontare la Storia del Caos estratta da uno degli antichi classici Cinesi – il Chuang Tzu: “L'Imperatore del Mare del Sud si chiamava Shu [Breve], l'Imperatore del Mare del Nord si chiamava Hu [Repentino], l'Imperatore della regione centrale si chiamava Hun-tun [Caos]. Shu e Hu di volta in volta si riunivano per un incontro nel territorio di Hun-tun, e Hun-tun li trattava entrambi molto generosamente. Shu e Hu discutevano di come potrebbero ripagare la sua gentilezza. Dicevano: "Tutti gli uomini hanno sette aperture, così da poter vedere, sentire, mangiare e respirare. Ma il solo Hun-tun non ne ha alcuna. Cerchiamo di aprirgliene una!" Ogni giorno essi aprivano un altro buco, e il settimo giorno Hun-tun morì”.* 

 (The Complete Works of Chuang Tzu, tradotto da Burton Waston, Columbia University Press, 1968, pp.97)
Qui c’è un altra traduzione del professor Fung Yu-Lan: “Il sovrano del Mare del Sud si chiamava Cambiamento; Il sovrano del Mare del Nord si chiamava Incertezza, e il Sovrano della zona Centrale si chiamato Primordiale. Cambiamento e Incertezza spesso si riunivano nel territorio di Primordiale, e essendo sempre trattati bene da lui, decisero di ripagare la sua gentilezza. Essi dissero: "Tutti gli uomini hanno sette fori per vedere, sentire, mangiare, e respirare. Solo Primordiale di questi non ne ha nessuno. Cerchiamo di fargliene qualcuno". Così ogni giorno cominciarono ad aprirgli un foro, ma il settimo giorno Primordiale morì.” (Chuang-tzu, A New Seleted Translation with an Exposition of the Philosophy of Kuo Hsiang by Fung Yu-Lan, Foreign language Press, Beijing, 1989, pp.113)

Perché? Il caos è l'ideale supremo del Taoismo. Il caos è totalità, unicità e Natura. Il Caos rappre-senta lo stato naturale del mondo. Scavare buchi sulla testa del Caos significa distruggere lo stato naturale del cosmo. Pertanto, per l'antico popolo cinese caos non ha solo il senso di disordine, ma presenta anche una rispettabile condizione estetica. Questa idea di caos può essere molto diversa dalla sua controparte occidentale.

In un antico documento, il ‘Sutra di Montagne e Mare’ (Shanhai Jing), il Caos indica il Dio del Sole: “Vi è un uccello sacro, con l’aspetto come un sacchetto giallo e con la superficie color rosso fuoco come il fornello alchemico. Esso ha sei piedi, quattro ali e un volto rugoso sul quale nulla può essere identificato, ma esso capisce molto bene musica e danza. In realtà è l'Imperatore del Dijiang (cioè, Dihong o l’Imperatore Giallo, il primo antenato della nazione Cinese)”.

Sembra abbastanza ragionevole considerare il Sole (cioè, Caos) come il primo antenato della nazione Cinese. In questo senso, il Caos è l’Apollo dell’antica Cina, però vi sono anche alcune differenze di base, perché non vi era affatto alcuna religione vera e propria nella storia della Cina.

2. L’Uso del Caos nelle Scienze in generale

A mia conoscenza, molti scienziati tra cui alcuni studiosi di scienze sociali hanno usato il concetto di caos in modi assai diversi. Aureolo Paracelso utilizzava il caos riferendosi all’aria e J.B. van Helmunt creò il concetto di gas dal caos. Thomas Burnet, Robert Boyle, C. Linneo, I. Kant, K. Marx, T.R. Malthus, John Stuart Mill, tutti usarono il caos per descrivere le loro teorie o credenze filosofiche. Qui io citerò solo le sentenze di Mill dal capitolo 7 della sua ‘Logica’:

“L'ordine della natura, com’è percepito a prima vista, presenta in ogni istante un caos seguito da un altro caos. Noi dobbiamo scomporre ciascun caos in singole realtà. Dobbiamo imparare a vedere nel caos antecedente un multiplo dei distinti antecedenti, nel caos successivo una moltitudine di distinte conseguenze”.
Alla fine del secolo scorso, l'ipotesi di caos molecolare nella statistica meccanica sollevata da Ludwig Boltzmann (egli usò la parola tedesca "Stosszahlansatz") fu adottata per interpretare il teorema ‘H’. James Hopwood Jeans e Paul e Tatiana Ehrenfest in seguito discussero di questa ipotesi nei loro libri. Quest'ultimi dissero che Stosszahlansatz era in qualche modo diversa dall'ipotesi di caos molecolare.
Nel 1938 e 1943, Norbert Wiener scrisse due saggi matematici ‘Il Caos Omogeneo’, ‘Il Caos Discreto’ in Amer. J. Math., in cui coniò le parole e le frasi "Caos", "caos omogeneo", "caos unidimensionale", "caos pluridimensionale", "puro caos", "discreto caos", "caos polinominale" ecc., e impostò la sua teoria del processo stocastico di caos, modellando un nuovo paradigma diversamente alla tradizione meccanica deterministica di Newton.

Poiché la teoria delle strutture dissipative divennero di moda dal 1970, il concetto di Ilya Progogine del caos entropico si propagò in tutto il mondo. Prima del 1980, Prigogine menzionò spesso il caos in due suoi famosi libri con due distinti significati: 1) l'equilibrio termodinamico del caos, e 2) il non equilibrio turbolento del caos. Credoo che egli sia in parte responsabile per l'arbitrario e negligente uso del caos in campo accademico.

 
3. Prima dell'Attuale Ondata di Caos.

E 'assolutamente inopportuno dichiarare chi è stato il primo a riconoscere la dinamica non lineare del caos nella storia delle scienze, anche se alcune persone preferiscono farlo, come ad esempio T.Y. Li e James Yorke sono stati considerati i primi a scoprire il caos nel 1975. Infatti, prima di Yorke & Li, Robert M. May, fisico teorico Australiano e poi ecologista in America, pubblicò l’articolo "Popolazioni biologiche con generazioni non-sovrapposte: punto stabile, e stabili cicli di caos" in ‘Science’, in cui egli suggerì che il caos fosse un nuovo stato statico del sistema dinamico, un’idea chiave per lo sviluppo di questa iniziativa.

Vi fu un’interessante storia diffusa riguardo Yorke & Li e R. May: la pubblicazione dell’articolo di Li & Yorke, "Period Three Implies Chaos" fu incoraggiato dall’indirizzo di May alla Maryland University nel 1974. Questi sono avvenimenti relativamente recenti. Dal punto di vista della storia e della filosofia delle scienze, dobbiamo concentrarci su molti fatti e materiali stabiliti prima di noi da alcuni grandi scienziati, come ad esempio J.C. Maxwell, A.M. Liapunov, P.M.M. Duhem, J.-S.Hadamard ed Henri Poincaré. Ci sembra perfino incredibile come essi possedessero in modo così preciso la comprensione dell'instabilità della meccanica classica prima degli scienziati ordinari negli anni 1970.

Maxwell sostenne che il fatto che si possa ottenere lo stesso conseguente dallo stesso antecedente è un dogma metafisico. Nessuno può negarlo, ma in realtà lo stesso antecedente non emerge mai due volte. In fisica usiamo un postulato simile: siamo in grado di ottenere un effetto simile a decorrere da una premessa simile. Ma questa volta si cambia da uguaglianza a somiglianza, da assoluta precisione a grezza approssimazione. Questa trasformazione non causa nessun problema, ma ci sono altri casi in cui ci troviamo di fronte ad una complessa instabilità.

James Clark Maxwell (1873) disse: “E’ un dogma metafisico che dagli stessi antecedenti seguano gli stessi conseguenti. Nessuno può negarlo. Ma in un mondo come questo ciò non è molto abituale, un mondo in cui gli stessi antecedenti non coincidono più, e niente accade mai due volte.... L’assioma fisico che ha un aspetto quasi uguale è ‘che da simili antecedenti seguono simili conseguenti’. Ma qui siamo passati da uguaglianza a somiglianza, da una assoluta precisione ad una più o meno grezza approssimazione. Ci sono alcune classi di fenomeni, in cui un piccolo errore nei dati produce solo un piccolo errore nel risultato, ed in questi casi il corso degli eventi è stabile. Ci sono però altre classi di fenomeni che sono più complicati, in quei casi può verificarsi instabilità, ed il numero di tali casi è in aumento in un modo estremamente rapido, allorché aumenta il numero di variabili.... Ogni esistenza al di sopra di un certo rango ha i suoi punti singolari: più il rango è elevato, più sono. A questi punti, la cui influenza di grandezza fisica è troppo piccola per essere presa in considerazione da un essere finito, può produrre risultati della massima importanza. Se, ordunque, quei coltivatori della scienza fisica grazie ai quali le persone intelligenti deducono la loro concezione della fisica, sono indirizzati al perseguimento degli arcani della scienza ed allo studio delle singolarità e delle stabilità delle cose, la promozione della conoscenza nazionale può tendere a rimuovere quel pregiudizio in favore del deter-minismo che sembra derivare dal presupposto che la scienza fisica del futuro sia una semplice immagine ingrandita di quella del passato”. (Da ‘Teaching Nonlinear Phenomena’ -I, pp.47).

Maxwell suggerì che esistono sistemi instabili il cui comportamento può entrare in conflitto con la causalità generale postulata in fisica, che discuterò più avanti nel contesto del significato di ‘caos’.
Nel 1898, Jacques Hadamard, un matematico Francese, all'età di 30 anni trovò un sistema di curva negativa mostrante una sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. Al tempo stesso, Pierre Duhem, scienziato, storico e filosofo della scienza, colse il vero significato filosofico del risultato di Hadamard. Questo lo portò a distinguere il punto e il tragitto fisico da quelli matematici e geometrici.

Ora dobbiamo parlare del padre della moderna dinamica non-lineare, Henri Poincaré, che contribuì con un sacco di strumenti e metodi per l'esplorazione in un nuovo mondo di meccanica e matematica classica. Poincaré creò la dinamica qualitativa, la teoria ergodica, la topologia e la teoria biforcativa, che sono tutte fondamentali per lo studio dell’attuale teoria del caos. Egli non solo descrisse come le instabilità dinamiche influenzino le previsioni nei suoi famosi lavori di filosofia scientifica, ma anche il reticolo di strutture specifiche omocliniche trasversali nel suo ‘Les Méthodes de la Méchanique Céleste’. Henri Poincaré, nel suo libro del 1903 ‘Science and Method’, disse che:

“Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo nel momento iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un momento successivo. Ma anche se fosse vero che le leggi naturali non abbiano più alcun segreto per noi, potremmo conoscere però solo poco circa la situazione iniziale. E se ciò ci consentisse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, che è ciò di cui abbiamo bisogno, dovremmo dire che il fenomeno era stato previsto, cioè è governato da leggi. Ma non è sempre così, può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di più grandi nei fenomeni finali. Un piccolo errore nell’evento precedente produrrà un enorme errore nel successivo. La previsione diventa impossibile, e quindi poi abbiamo il fenomeno casuale e fortuito”.

Harold Marston Morse e G.D. Birkhoff continuarono la tradizione di Poincaré, sviluppando la teoria del sistema dinamico in America. Nel 1921 Morse, nel suo articolo "Geodesie ricorrenti su una superficie di curvatura negativa" in ‘Trans. Amer. Math. Soc.’, dimostrò che esistono ricorrenti geodesie di tipo discontinuo il che corrisponde all’attuale curva caotica. Egli costruì anche rigorosamente un sistema: "Esiste un’infinita serie di simboli, ognuno dei quali è 1 o 2, che forma un insieme che è ricorrente, senza essere periodico". Nel 1922 G.D. Birkhoff scrisse un articolo di 119 pagine in: ‘Mathematica Acta’ in cui classificò i movimenti del sistema dinamico in sette categorie, di cui la quarta fu chiamata movimenti ricorrenti di tipo discontinuo. Egli, insieme a P. Smith, nel 1931, introdusse il concetto di transitività metrica che fu una solida base per la ‘teoria ergodica’ e fu utilizzato da R.L. Devaney nel 1986 per definire il caos.

Nel 1920 Van der Pol e Van der Mark studiando le ‘relaxing-oscillations’ scoprirono il fenomeno della demoltiplicazione di frequenza. Essi pubblicarono nel 1927 un breve documento in ‘Nature’ la cui importanza sta: 1) essi scoprirono il ‘period-dubling-bifurcation’ in un sistema fisico che è considerato scenario di base al caos, e 2) essi adottarono le cosiddette devil-stairs-image con struttura frattale.
I matematici Inglesi M.L.Cartwright & J.E.Littlewood (CL) assorbirono Pol & Mark, Morse, Birkhoff e i risultati di Morman Levinson e trovarono la "bad-curve" mentre cercavano nelle equazioni differenziali non lineari di secondo ordine. N. Levinson (L) nel 1949 ampliò la ricerca di C. & L. nel suo articolo "Un secondo ordine di equazione differenziale con singole soluzioni" in ‘Annals of Mathematics’ in cui egli dimostrò con successo che c’è una soluzione che attira il caos col potere di continuità chiamata ‘strange-attractor’, dopo il 1970. Inoltre, S. Smale nel 1960 estrasse l’importante concetto del "ferro di cavallo" dal lavoro di L. L. C..

4. Due Definizioni per l’Attuale Teoria del Caos

Gli immediati predecessori dell’entusiastica corsa all'oro della teoria del caos all’inizio degli anni 1970 provennero da due diversi tipi di sviluppi, all'inizio degli anni ‘60. Uno è il teorema-KAM di sistemi conservativi, e l'altro è il modello-meteo di sistemi dissipativi di E. Lorenz. La Teoria-KAM risale ad A.N.Kolmogorov nel Congresso Internazionale Matematici di Amsterdam del 1954. Poi, nel 1961 V.I. Arnold (studente di Kolmogorov) e nel 1963 J. Moser, provarono rigorosamente questo teorema. Da qui il nome KAM. Il teorema-KAM era troppo difficile da capire anche per matematici professionali. Gli scienziati non ne colsero lo spirito e il significato esatto se non un decennio più tardi. Il Teorema- KAM, o più precisamente la sua violazione, può essere usato per spiegare molti comportamenti stocastici nei sistemi meccanici classici conservativi. Nel 1969 G.H.Walker e Joe Ford sfruttarono la teoria-KAM per interpretare alcuni risultati con esperimenti al computer. Nel loro articolo, "Amplitude instability and ergodic behavior for conservative nonlinear oscillator systems" gli autori stabilirono contatti tra il teorema-KAM, il teorema di Poincaré sui ricorrenti, il fondamento della fisica statistica, l'origine di complessità nel sistema semplice non lineare, gli esperimenti di M. Hénon & C. Heiles ed i fenomeni FPU, ecc.

Nell’approccio al sistema dissipativo, nel 1963 E.N. Lorenz scrisse un’articolo in J. Atmos. Sci. dal titolo "Deterministic nonperiodic flow" in cui egli dette un semplice sistema ordinario di equazione mostrante un attrattore estraneo-tipo-farfalla (termine coniato nel 1971 da David Ruelle e F.Takens) che è diventato l'icona e il simbolo della teoria del caos. Circa nello stesso periodo, un universitario giapponese, Yoshisuke Ueda, trovò da solo un ‘strange-attractor’ nell’equazione di Duffing.

I progressi di queste due strade sono stati tutti supporti provenienti dalla simulazione numerica. E’  con l’aiuto del calcolare e mostrare le tecnologie con i moderni computer che la teoria del caos e altre teorie della scienza non-lineare sono cresciute.

  
5. Mappa Logistica: ‘Nonlinear Sparrow’

Come dice il proverbio Cinese: "un passero può essere anche piccolo ma ha tutti gli organi vitali – è piccolo ma completo." La mappa logistica unidimensionale è come il passero delle scienze nonlineari, che seguendo il modello ed il movimento Browniani, può essere considerata come il paradigma della terza breccia della meccanica classica. La mappa logistica ha delle biforcazioni, orbite periodiche stabili ed instabili, finestre periodiche, comportamenti miscelati ed ergodici, connessioni omocliniche, orbite caotiche e certi tipi di universalità.

G.Julia, Von Neumann, S.M.Ulam studiarono a lungo la mappa logistica prima che apparisse la teoria del caos. Nel 1973, tre matematici di Los Alamos, N. Metropolis, M.L.Stein e P.R.Stein (MSS) intra-presero ricerche sulla trasformazione sull’unità di intervallo. Essi sistematicamente introdussero la dinamica simbolica, costruendo algoritmi armonici ed anti-armonici per sequenze simbolo. Dopo gli MSS, i DGP (B. Derrida, A. Gerois e Y. Pomeau) nel 1978 pubblicarono un documento che è stato un importante passo avanti e che dette un simile teorema interno che indicava che esiste una sorta di universalità topologica nella dinamica non lineare. M. Feigenbaum a metà degli anni 1970 scoprì le costanti in una mappa logistica che rappresenta un altro tipo di universalità, universalità metrica, nei sistemi non lineari.

A quel tempo, l'articolo"Period three implies caos"  di Li & Yorke causò una piccola scossa negli ambienti accademici e fu copiato in tutto il mondo. In effetti, A.N.Sarkovskii, un matematico ucraino, pubblicò in un famoso giornale un risultato più generale di quello pubblicato da Li & Yorke circa un decennio di anni fa. Riguardo alla mappa logistica ci sono molti malintesi. Qui voglio chiarirne alcuni.
 (1) Il teorema di Li & Yorke afferma l'esistenza del problema delle orbite periodiche dato un giusto parametro. Non tratta direttamente con 'la distribuzione di diversi parametri di orbite stabili, quindi non corrisponde alla biforcazione, figura che può essere facilmente visibile e visualizzata su schermo del computer. Solo sul prodotto-spazio dal parametro-spazio e della frase-spazio si può ricercare lo spettro di biforcazione. Il teorema di Li & Yorke parlava solo della proprietà esistenziale delle orbite periodiche sulla frase-spazio.

 (2) Il teorema di Li & Yorke e il teorema di Sarkovskii discussero l'esistenza delle orbite periodiche, ma essi non affermavano nulla sulla loro situazione di stabilità e non dicevano le loro misure relative ai movimenti del caos, cioè quanto essi contavano in percentuale. Per un’unica mappa a dimensione unimodale che soddisfacesse H.A.Schwartz nel 1978 le condizioni di D.Singer dimostrarono che c’era un’unica orbita più stabile dato un certo parametro. Quindi esiste questa possibilità: il sistema può possedere orbite periodiche, ma molte o addirittura tutte esse sono invisibili perché solo orbite stabili possono essere viste fisicamente.

 (3) Il teorema di Li & Yorke parlava della proprietà verticale dello spettro di biforcazione della mappa logistica e il teorema di Sarkovskii parlava della proprietà orizzontale di esso. Alcuni pensano che il teorema di Li & Yorke significhi che stabili orbite periodiche coesistano con orbite caotiche in un parametro fisso. Ciò è sbagliato. Perché la mappa logistica per un parametro all’interno del periodo di tre finestre non vi è un’orbita caotica stabile e nessun altra orbita periodica stabile.

 (4) Il (teorema) Li & Yorke non definisce il caos come un serio termine scientifico. Il Caos però è un concetto di routine, perfino in questo stesso articolo-chiave che fa un grande polverone nella teoria del caos.

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6. Che cos'è il Caos?

Ci sono molte definizioni funzionali per il caos. Nel quadro della meccanica classica, il caos significa spesso caos deterministico. Quattro proprietà quantitative possono essere utilizzate per identificare se ci troviamo di fronte ad un sistema-caos. I quattro indici sono le esponesnti caratteristiche positive di Liapunov che misurano la velocità di separazione di traiettorie contigue, struttura del frattale e la dimensione della frase-spazio, entropia topologica non negativa, e continuo spettro di potenza. Io ho anche dedotto cinque caratteristiche generali per il movimento-caos:

 (1) Determinismo

Teoricamente, il movimento del caos nel quadro classico studia che deve essere generato da una o più equazioni deterministiche che non contengono alcun fattore casuale. Le condizioni del sistema di passato, presente e futuro sono controllate da regole deterministiche. È perché gli scienziati trovano il comportamento stocastico nel totale sistema deterministico che diventano entusiasti e sono attratti dal sondarne i segreti. Nel lungo periodo, gli scienziati devono studiare sistemi più complessi che includono il tipo che ora si chiama caos. Ma per il momento è di estrema importanza rafforzare il determinismo.
 (2) Nonlinearità

Per ‘Nonlinearità’ si intende la non sovrapposizione di fattori o effetti, ciò significa che nelle equazioni ci sono termini come: X 2, 2mxy, byz, in cui X, Y e Z sono variabili, b, e m, sono parametri. La non-linearità è una necessaria, ma non sufficiente condizione per la comparsa del caos. I movimenti-Caos devono provenire da un sistema non lineare ma la nonlinearità non implica necessariamente il caos. In ogni caso, la nonlinearità non è uguale a linearità.

 (3) Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali

In generale, l'evoluzione di un sistema dipende dal suo stato iniziale anche se può essere dimostrata la parità dei risultati finali. Quando il nostro interesse si focalizza su tutti gli attrattori dissipativi allora l'evoluzione sembra non sensibilmente-dipendente dalle sue condizioni iniziali, dato che tutte le traiettorie cadono sull’attrattore. Ma se il nostro interesse si concentra sulla struttura interna del ‘strange-attractor’ otteniamo una strana raffigurazione: le traiettorie convergono e divergono in modo esponenziale. Per un sistema caotico, questa proprietà della SDIC deve essere valida per quasi tutti i possibili stati iniziali. Ai sensi del presente vincolo una possibile spiegazione geometrica per strutture della fase caotica è stirante ed estensibile. Le traiettorie caotiche si muovono per sempre all'interno della fase finita di spazio. O.E.Rössler pensava che la perichoresis (movimento-intorno) utilizzata dall’ antico filosofo Greco Anassagora è appropriata per questo tipo di movimento, e se G.D. Birkhoff ne avesse conosciuto l’uso non avrebbe creato un ricorrente termine Latino.

 (4) Aperiodicità

Il movimento caotico è un nuovo tipo topologico di movimento che è molto diverso da un punto fisso, limite cicloidale e limite toroidale. Le sue orbite sono non-periodiche. Ciò significa che un’orbita-caos non può mai unirsi ad un’altra o ripetere la sua storia. Ma non tutte le orbite non periodiche sono orbite caotiche. I movimenti perlopiù-periodici e i movimenti quasi-periodici sono a-periodici ma non caotici. Qui vorrei chiarire un punto: che il sistema caos può (e spesso lo fa), contenere movimenti periodici e le orbite periodiche e non-periodiche possono entrambe legarsi insieme.

Le quattro proprietà di cui sopra sono necessarie ma non sufficienti per il caos.

 (5) Una certa Stabilità con una certa Tensione e Limitatezza

Vi sono differenti attitudini verso i requisiti della stabilità del caos. Dal punto di vista della matematica pura, è conveniente definire il caos senza la considerazione di stabilità delle orbite. Ma fisicamente, la stabilità è così importante che è meglio includere vincoli stabili nel definire i movimenti del caos. In realtà, gli scienziati tendono a comprendere il movimento del caos in un modo fisico. Ai loro occhi, il caos è legato, ma coinvolto in un tipo di stabilità sciolta. Il movimento del caos sul ‘strange-attractor’ è localmente instabile, ma stabile globalmente.

La definizione di caos di R.L.Devaney nel 1986, comprende tre parti: l'imprevedibilità, l'indivisibilità e la regolarità che corrispondono alla SDIC, ergodicità o miscelazione di fase-spazio, e deterministiche regole di sistema, rispettivamente. Infine, cercherò di dare una definizione descrittiva del classico caos: “Il movimento-caos è un comportamento ricorrente, casuale, e a-periodico, generato da una non lineare equazione deterministica con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali del sistema. Dal punto di vista della teoria dell'informazione algoritmica la traiettoria caotica possiede una debole stocasticità algoritmica”.

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7. Il Distruttore della Causalità Funzionale

Dobbiamo dire che David Hume (1711-1776) discusse il problema della causa ed effetto, nel suo libro ‘An Inquiry Concerning Human Understanding’. Egli disse che la conoscenza della relazione di causa ed effetto non si ottiene col ragionamento a priori, ma nasce interamente da un'esperienza, quando scopriamo che tutti gli oggetti particolari sono costantemente congiunti gli uni con gli altri.

“Io ho trovato che un certo oggetto è sempre stato unito con un certo effetto e prevedo che gli altri oggetti che sono in apparenza simili saranno congiunti con effetti simili…. La connessione tra queste proposizioni non è intuitiva. E’ richiesto un mezzo che possa consentire che la mente sia attratta da un tale inferenza, anziché essere attratta dal ragionamento e dall’argomentazione.… In realtà, tutti gli argomenti per esperienza si fondano sulla somiglianza che noi scopriamo tra oggetti naturali, e di cui siamo indotti a aspettarci effetti simili a quelli che abbiamo trovato a seguito di tali oggetti. E se nessuno, se non un folle o un pazzo, potrà mai pretendere di discutere l'autorità dell’esperienza, o di respingere quella grande guida che è la vita umana, si può sicuramente consentire ad un filosofo di avere così tanta curiosità, almeno come esaminare il principio della natura umana, che offre questa potente autorità a sperimentare, e che ci fa trarre vantaggio da questa somiglianza che la natura ha posto tra i diversi oggetti. Da cause che appaiono simili, ci aspettiamo effetti simili.... Quando un uomo dice, ‘ho trovato, in tutti i passati esempi, come le ragionevoli qualità, congiunte con tali poteri segreti’, e quando dice, ‘simili qualità ragionevoli saranno sempre congiunte con simili poteri segreti’, egli non è colpevole di tautologia, né queste proposizioni sono in alcun modo le stesse”.

(David Hume, ‘An Inquiry Concerning Human Understanding’, The Liberal Arts Press, 1955, pp.42-53)
Prego notare le parole "simili" e "somiglianza" nella citazione di cui sopra. Oggi, la teoria del caos riproduce le preoccupazioni di Hume riguardo alla legge di causa ed effetto, nel senso di pratica o di esperienza. Hume non volle negare la legge di causa ed effetto, ma volle solo renderla più purificata, come ha detto Rudolph Carnap.

La legge di causalità è la premessa per tutte le ricerche scientifiche, ma nessun fatto empirico può mai falsificarla. Essa è sempre logicamente corretta. A mio parere, la legge di causalità significa che la stessa causa può produrre lo stesso effetto. Il problema è come determinare qual è la stessa causa e qual è lo stesso effetto. Rigorosamente parlando, condizioni spazio-temporali simili e tutte le altre situazioni fisiche non possono accadere ripetutamente nel mondo reale. Quindi, che cosa significa la ‘causalità’? Deve significare che una causa molto simile dovrebbe produrre un effetto molto simile, nel senso di funzionamento. Tuttavia, cosa è "molto simile", e come si può garantire la realizzazione di questo tipo di ‘molto simile’? In altre parole, abbiamo noi abbastanza motivi per accettare la legge di causalità funzionale?

Prima che la teoria del caos fosse entrata in essere, questa questione non era neppure mai stata seriamente fatta nella comunità scientifica. La filosofia della meccanica quantistica si era scontrata in un contesto diverso con questo problema. Ora il movimento-caos, a causa della sensibile dipendenza dalle sue condizioni iniziali, viola definitivamente l’operativa legge di causalità. Nel sistema del caos, una piccola deviazione produce una grande deviazione. In un modo-di-dire Cinese, si dice che "un errore pur piccolo come un singolo capello può portarvi fuori strada di un migliaio di miglia".

Inoltre, può il movimento-caos violare la stessa legge di causalità? Io penso di no. Almeno, l'attuale teoria del caos non credo possa supportare questa decisa affermazione.

Se il movimento-caos distruggesse la legge della causalità funzionale, si imporrebbe in tutti i sensi una limitazione vitale alle teorie di previsione in scienza e ingegneria pratiche. Se il sistema in esame soddisfa la DMB, tutte le condizioni sono OK. Ma, se non soddisfa la condizione DMB, dovremmo riesaminare le conclusioni raggiunte in precedenza dalle persone. DMB rappresenta P.M.M.Duhem, J.C.Maxwell e L.Brillouin, rispettivamente, che dapprima sottolinearono il vero significato di instabilità dinamica nelle scienze. La condizione DMB (ho coniato la sigla nel 1994) rappresenta la condizione in cui il sistema non possiede un processo dinamico instabile.

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8. Il Determinismo e la Prevedibilità

Molti filosofi della scienza hanno citato la famosa descrizione sul determinismo di Pierre-Simon La-place in ‘Essai Philosophique sur les Probabilités’ ed hanno fatto molti strani commenti. Credo che le parole di Laplace siano rappresentate dalla struttura della frase, “se (accadesse) qualcosa, qualcosa (succederà)" con il modo congiuntivo che la fa assomigliare all'ipotesi della causalità. Egli mandò avanti il paradigma deterministico al supremo livello, ma la sua frase non può essere direttamente falsificata. In realtà essa è solo una convinzione e non può mai essere falsificata.

Dopotutto, le scienze hanno a che fare con la previsione degli affari. E’ a causa del movimento-caos che è impossibile prevedere la condizione futura di un dato sistema? Assolutamente no! Ci sono molti tipi di previsioni. Soltanto il caos impone certe limitazioni su certe previsioni. Perfino nel senso della previsione di una traiettoria, essa non è però condannata a morte dalla teoria del caos. Una traccia finita dell’orbita caotica a livello locale è sempre possibile. Nel 1994, io creai una formula per il sistema del caos: [ T = M / (L - L) ]

in cui T è il tempo critico, (L e L sono rispettivamente l’esponente di A.M.Liapunov e la costante di R.O.S.Lipschitz, ed anche M è una costante. Se la previsione di tempo per un sistema caotico va al di là del tempo critico T del sistema allora questa previsione, nel senso di traiettoria, non è valida. Se la previsione di tempo è minore del tempo critico T allora la previsione è possibile o forse accettabile.
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9. Caos e Metafora

I modelli di caos dal 1980 iniziarono a sostituire il ruolo dei modelli di periodo nelle scienze naturali, economiche e sociali, perché i modelli di caos contengono logicamente un punto fisso (equilibrio), modelli limite di ciclo (periodo), e nel contempo possono anche simulare un processo più complicato.
La teoria del caos, insieme con altre parti delle scienze nonlineari, ha più o meno modificato quella che era la metodologia scientifica. La teoria del Caos utilizza metodi di riduzione, ma trascende ogni dogma riduzionista. Nell’intera area di studi sul caos, la relazione tra comportamento globale e quello locale, riduzione ed insorgenza, ordine e caos, prevedibilità e imprevedibilità, è discussa teoricamente e praticamente in modo naturale.

Gli studi sul Caos dettero impulso anche al cambiamento dei valori. Nei sistemi naturale e artificiale, qual è il movimento migliore? È il punto di equilibrio, il periodo stabile o il movimento caotico? Per un lungo periodo di tempo, l'equilibrio e la periodicità sono stati considerati come buone condizioni. Ora possiamo trovare che in alcuni casi, i movimenti instabile e caotico possono essere più validi ed utili.
Non sorprende perciò che, le visioni sulla teoria del caos e l'ecologia generale, siano considerate come forte supporto alla teoria e pratica dello sviluppo sostenibile in campo accademico. Alcuni post-modernisti, le femministe ed il misticismo prendono abbastanza arbitrariamente in prestito concetti scientifici in voga, tra cui caos, nonlinearità, biforcazione, frattali, per sostenere per le loro credenze. Ci sono molti malintesi che circolano sulla teoria del caos, dalla sua rigorosa traduzione matematica e dalle scienze naturali, per essere introdotti nel criticismo culturale. Senza dubbio, alcuni filosofi, letterari o critici d'arte e mistici, utilizzano la teoria del caos come una metafora. Siccome nessuno può vietare l'uso di termini scientifici e di metafore, in questa situazione, noi dobbiamo mantenere un tollerante e scettica visione di alcune richieste.

Il presente documento non intende intaccare i dibattiti sul caos dei ‘quanti’. Credo che il caos classico e il caos quantistico (se mai esiste un tale caos) rientrino in due diverse categorie descrittive delle scienze. La meccanica classica è deterministica dall’inizio alla fine e solo le condizioni iniziali ne per-mettono la possibilità di casualità. Tuttavia, la meccanica quantistica è probabile nel suo fondamento. La probabilità come fondamentale premessa viene introdotta nella teoria quantistica, tuttavia anche il sistema formale stesso della meccanica quantistica è deterministico. In particolare, è deterministica l'evoluzione del flusso di probabilità quantistica. Non importa dove si voglia andare, i dibattiti sul caos quantistico ci hanno permesso di riconsiderare la validità del principio di corrispondenza. Riteniamo che ora l'uomo è ancora lontano dal trovare la vera storia della natura.

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10. Brevi Conclusioni

Il concetto di caos nelle nostre culture ha implicazioni molto vaste, ma nella moderna teoria del caos della dinamica non lineare il caos è un termine chiaro con significati precisi. A mio parere, il caos è una sorta di comportamento semplicistico rispetto a molti altri processi sconosciuti nei sistemi fisici. E’ però difficile stabilire se vi sia un nuovo tipo di regime statico tra i movimenti più complicati e l’attuale movimento del caos. Ai matematici il compito di rispondere nel futuro a questa domanda.
La teoria del Caos non ha nulla a che fare con la cosiddetta teoria post-modernista. Il più importante impatto filosofico del caos sul ragionamento scientifico è la sua violazione della causalità funzionale. Essa conferma le preoccupazioni di David Hume.

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